2026年数学建模国赛A题算法（四）：基于有限差分法的热传导方程高效数值求解及自适应算法研究

摘要热传导方程是经典的抛物型偏微分方程，在物理学、工程热力学、材料科学及金融数学等领域具有广泛的应用背景。本文系统研究了热传导/扩散方程的有限差分法数值求解，从经典显式、隐式及Crank-Nicolson格式出发，深入分析了各类格式的稳定性、收敛性与精度。针对传统均匀网格方法的局限性，本文提出了一种基于弧长自适应网格加密（r-adaptive）与高阶紧致差分（HOC）相结合的混合算法，在保持计算效率的同时显著提升了温度梯度剧烈变化区域的局部分辨率。数值实验通过构造精确解对比、多时间步长验证及复杂边界条件测试，系统评估了各类方法的性能。结果表明，本文提出的自适应紧致差分方法在L²和L∞误差、收敛阶及计算效率方面均优于传统均匀网格方法，为实际工程中的热传导问题提供了一种高效可靠的数值求解工具。关键词：热传导方程；有限差分法；Crank-Nicolson格式；自适应网格；高阶紧致差分；冯·诺依曼稳定性分析目录1. 引言2. 热传导方程的数学模型2.1 控制方程2.2 定解条件2.3 基本性质3. 有限差分法基础格式3.1 网格剖分与记号约定3.2 显式格式（FTCS）3.2.1 截断误差3.2.2 稳定性分析3.2.3 优缺点分析3.3 隐式格式（BTCS）3.3.1 截断误差3.3.2 稳定性分析3.3.3 优缺点分析3.4 Crank-Nicolson格式3.4.1 截断误差3.4.2 稳定性分析3.4.3 优缺点分析3.5 三种格式的总结对比4. 自适应高阶紧致差分方法4.1 高阶紧致差分格式（HOC）4.1.1 四阶紧致格式的推导4.1.2 时间离散与全离散格式4.1.3 稳定性分析4.2 自适应网格生成原理4.2.1 弧长等分布原理4.2.2 网格迭代算法4.3 自适应HOC算法的完整流程4.4 边界条件处理5. 数值实验与结果分析5.1 测试问题1：具有精确解的热传导问题5.2 测试问题2：间断初始条件5.3 测试问题3：变系数热传导6. 结论与展望参考文献附录：核心算法MATLAB代码A.1 Crank-Nicolson格式主程序A.2 自适应HOC-CN格式主程序1. 引言热传导现象是自然界和工程领域中最为普遍的物理过程之一，其数学描述可追溯至19世纪初Joseph Fourier的开创性工作。Fourier于1822年在其著作《Théorie Analytique de la Chaleur》中提出了著名的热传导方程，奠定了传热学理论分析的基础。时至今日，热传导方程及其推广形式（含源项、变系数、非线性等）依然活跃在众多前沿科学领域的研究中，包括但不限于：航空航天飞行器热防护系统设计、集成电路芯片热管理、核反应堆堆芯热工水力分析、激光加工热影响区预测、地热资源勘探以及金融衍生品定价中的Black-Scholes方程等。然而，除极少数特殊情况（如无限域中的基本解、分离变量可解的规则区域问题）外，绝大多数热传导问题无法获得解析形式的精确解。这一现实困境催生了数值计算方法的发展与繁荣。在众多数值方法中，有限差分法（Finite Difference Method, FDM）以其数学概念直观、程序实现相对简便、理论分析成熟等优势，成为求解偏微分方程最古老也最常用的数值方法之一。其基本思想是用离散网格点上的函数值近似连续区域中的解，并通过泰勒展开将微分算子替换为相应的差分算子，从而将偏微分方程的求解转化为代数方程组的求解问题。从历史发展的视角审视，热传导方程的有限差分法求解经历了从简单到复杂、从低阶到高阶、从均匀网格到自适应网格的演进历程。早期的研究工作主要集中于显式格式和隐式格式的构造与稳定性分析。显式格式（Forward Euler in time）计算简单，每一步只需进行简单的算术运算，但其稳定性条件极为苛刻，