杨 第四章线性方程组

A0代表有非0解左边不确定rA是否等于rA|bA不等于0代表只有0解满秩rA一定相等rA|bSn-r基本概念导出组线性方程组和行列式克拉默判断解的情况线性方程组和矩阵Axb 和 AXB求x矩阵方程 AXB线性方程组和秩总结:A行满秩必解线性方程组和向量组和上面等价向量组状态对应方程组解的情况矩阵秩的视角α1​,α2​,α3​ 线性无关x1​α1​x2​α2​x3​α3​0只有零解r(A)3α1​,α2​,α3​ 线性相关x1​α1​x2​α2​x3​α3​0有非零解r(A)3α1​,α2​,α3​,b 线性无关x1​α1​x2​α2​x3​α3​b无解r(A,b)r(A)1α1​,α2​,α3​ 无关且包含 b 相关x1​α1​x2​α2​x3​α3​b唯一解r(A)r(A,b)3核心内容是求解线性方程组的问题举例单个向量由向量组线性表示 —— 线性方程组向量组由另一个向量组线性表示——矩阵方程求极大无关组并表示其余向量——矩阵方程求特征向量——齐次线性方程组的非零解解向量齐次方程的解解向量的性质基础解系检查向量个数是否刚好满足。非齐次方程的解解向量的性质这里有个考点虽然他是解不是保证和齐次解是无关的通解方程组公共解求解方法1已知两个方程组直接联立方程2已知1个通解a和另外一个方程2将通解a带入方程2得到k1和k2之间的数量关系统一通解a为1个常数K表示。3计算难已知2个通解直接令其相等移项k1 k2 -l1 -l20得到各自通解的数量k数量关系统一通解后两个通解都是相等的同解1、2行最简单一致本质三r相等。一个解是另一个解rArB基础解系一致特例详细证明最后一道。核心区别对比④ 的结论指数直接降到 1⑤ 的结论指数只能降到阶数 n参考一道题A²x0、Ax0不同解这是可以的。可能是幂0矩阵。同解和等价AB0一、 考情分析与核心题型1. 考研大纲要求熟练掌握并会用克拉默Cramer法则。理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件以及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。理解齐次线性方程组的基础解系及通解概念熟练掌握齐次线性方程组基础解系和通解的求法。理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。熟练掌握用初等行变换求解线性方程组的方法。2. 真题四大核心题型根据考研真题统计线性方程组的核心题型主要分为以下四类带参数的线性方程组高频重点抽象的线性方程组矩阵方程 $AXB$公共解与同解问题2. 解题技巧与秘籍总结含参线性方程组讨论思路求行列式法适用于系数矩阵为方阵且 $\vert{}A\vert{}$ 易于计算的情况。先令 $\vert{}A\vert{}0$ 求出参数临界值再代入讨论。初等行变换法适用于系数矩阵非方阵或行列式计算极其繁琐的情况。直接对增广矩阵 $[A, b]$ 化行最简形讨论。矩阵方程 $AXB$ 的求解构造分块矩阵 $[A, B]$通过初等行变换化为 $[C, D]$行最简形。分别解 $Cx d_i$组合得到 $X$ 的通解。抽象向量与代数余子式秘籍若 $n$ 阶行列式中代数余子式 $A_{ij} \neq 0$则 $A$ 除去第 $j$ 列外的 $n-1$ 个列向量线性无关除去第 $i$ 行外的 $n-1$ 个行向量线性无关[cite: 1]。当题目出现抽象的“任意”向量 $b$ 时可巧妙选用基本单位向量 $e_1, e_2, \dots, e_n$ 代入推理[cite: 1]。习题三对角已知答案求证明-数学归纳法速度最快、不易出错。证明nk实际用的就是递推法。未知答案求求解-递推法先展开列出递推式再求通项。行约简除以 b-a、消去第一行分析可得到rn-1只有一个解。ABb我的做法是求a4带入只是一个特解。没有联系到Ax0方法2AxAβ概念-----------Axb我想多了想求A分析结合A11≠0得到rA*反推rA得到了|A|。A*A0A的列被包含于A*的解。A11≠0可得Sa2-an无关。所以S是A*x0一个基础解析极大线性无关解集/基。因为β为解所以可以用基础解析来表达。疑问就是A*x0的解析有n-1个为何S恰好是β我自己混淆了认为S是一个解类比kS。但是不是D任意解向量rAnn-1 rA*0,AXB混淆极大线性无关组注意每一列都要引入一个独立的自由常数。乘法顺序与结合律混淆误选 C转置后的包含方向搞反误选 B#公共解方法2同解不同解的充要条件是rA≠rA²。同解矩阵特例证明命题③。因为存在矩阵P和Q使得PAB且QBA根据命题②第一步的证明思路可以证得Ax0 与 Bx0 同解这个幂零矩阵与线性无关性证明8这个幂零矩阵与线性无关性证明