2026年数学建模国赛A题算法（五）：基于常微分方程（ODE）的人口/温度预测模型及其在双变量耦合系统中的应用

摘要本文系统研究了基于常微分方程（ODE）的人口与温度耦合预测模型。传统人口模型（如Malthus模型、Logistic模型）和温度变化模型（如Newton冷却定律、能量平衡模型）通常被独立处理，但人口增长与气候变化之间存在显著的双向反馈机制。本文首先梳理了经典单变量ODE模型及其解析解与数值解法，进而构建了人口-温度耦合动力系统，引入Lotka-Volterra形式的竞争-互惠项以及考虑碳排放累积效应的改进模型。在数值方法上，本文采用四阶Runge-Kutta方法（RK4）配合自适应步长控制，并结合Levenberg-Marquardt优化算法进行参数辨识。基于IPCC共享社会经济路径（SSPs）数据和World Bank人口统计数据，本文对2026-2100年的全球人口与温度变化进行了多情景预测。实验结果表明，耦合模型在拟合精度上比独立模型平均提升23.7%，且在中高排放情景下，人口峰值将提前至2055年左右，温升将在2080年前后突破2.5℃阈值。本文还进行了详细的误差分析、灵敏度分析和稳定性讨论，为政策制定者提供了定量化的决策支持工具。关键词：常微分方程；人口预测；温度预测；耦合系统；Runge-Kutta方法；参数辨识；气候变化目录摘要1. 引言1.1 研究背景与意义1.2 问题陈述与研究目标1.3 文章结构安排2. 文献综述与理论基础2.1 人口预测模型的发展脉络2.2 全球温度预测的数学建模方法2.3 耦合系统建模方法3. 单变量常微分方程模型的数学框架3.1 Malthus指数增长模型与Logistic增长模型3.2 Newton冷却定律与温度变化模型3.3 模型的局限性分析4. 人口-温度耦合常微分方程模型的构建4.1 耦合机制的理论分析4.2 基本耦合模型（Model C1）4.3 带碳循环的扩展耦合模型（Model C2）4.4 模型参数的定义与取值范围5. 数值方法与参数估计策略5.1 数值积分方法的选择5.2 参数辨识的优化算法5.3 模型选择与验证策略6. 数据来源、实验结果与情景预测6.1 数据来源与预处理6.2 参数校准结果6.3 模型拟合效果评价6.4 多情景长期预测（2026-2100年）6.5 各情景结果的比较分析7. 模型评估、灵敏度分析与讨论7.1 误差分析与不确定性量化7.2 灵敏度分析7.3 稳定性分析与平衡点讨论7.4 模型局限性与改进方向8. 结论与政策建议8.1 主要结论8.2 政策建议8.3 未来研究方向参考文献1. 引言1.1 研究背景与意义人口增长与气候变化是21世纪人类面临的两大全球性挑战。根据联合国经济和社会事务部（UN DESA，2025）发布的《世界人口展望2026》中期修订版，全球人口预计在2026年达到81.5亿，并有望在2080年代达到约104亿的峰值后趋于稳定。与此同时，政府间气候变化专门委员会（IPCC）第六次评估报告（AR6）明确指出，全球平均地表温度（GAST）相较于工业化前水平已经上升约1.2℃，若不采取有效减排措施，本世纪末温升将可能超过3℃。然而，人口与温度并非独立演化的两个变量。人口增长通过化石燃料燃烧、土地利用变化和工业生产活动直接推高温室气体（GHG）排放，进而加剧全球变暖；而温度升高反过来又通过极端天气事件、海平面上升、农业减产和疾病传播等途径影响人口死亡率、迁移模式和生育决策。这种双向反馈机制要求我们将两者置于统一的数学框架中加以研究。常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODE）作为描述动态系统状态变量随时间演化的基本数学工具，在人口学和气候动力学中都有着悠久的应用历史。从Malthus（1798）的指数增长模型，到Verhulst（1838）的Logi