数字特征统计量——协方差补充

随机变量分布的数字特征→\rightarrow→方差→\rightarrow→协方差→\rightarrow→协方差矩阵↓\downarrow↓↓\downarrow↓↓\downarrow↓统计量→\rightarrow→样本方差→\rightarrow→样本协方差→\rightarrow→样本协方差矩阵离散型变量的协方差公式Cov(X,Y)E[(X−E(X))(Y−E(Y))]∑i∑jpij(xi−μX)(yj−μY){\quad \mathrm{Cov}(X,Y) {E}[(X - E(X))(Y - E(Y))] \sum_{i} \sum_{j} p_{ij} (x_i - \mu_X)(y_j - \mu_Y)}Cov(X,Y)E[(X−E(X))(Y−E(Y))]i∑​j∑​pij​(xi​−μX​)(yj​−μY​)其中pijP(Xxi,Yyj)p_{ij} P(Xx_i, Yy_j)pij​P(Xxi​,Yyj​)是联合概率质量函数μXE(X)\mu_X E(X)μX​E(X)μYE(Y)\mu_Y E(Y)μY​E(Y)分别是XXX和YYY的期望值均值连续型变量的协方差公式若为连续型随机变量则用积分代替求和Cov(X,Y)∫−∞∞∫−∞∞(x−μX)(y−μY)fXY(x,y) dx dy \mathrm{Cov}(X,Y) \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu_X)(y - \mu_Y) f_{XY}(x,y) \, dx \, dyCov(X,Y)∫−∞∞​∫−∞∞​(x−μX​)(y−μY​)fXY​(x,y)dxdy其中fXY(x,y)f_{XY}(x,y)fXY​(x,y)是联合概率密度函数。VE[(X−μX)2(X−μX)(Y−μY)(X−μX)(Y−μY)(Y−μY)2][Var(X)Cov(X,Y)Cov(X,Y)Var(Y)]V {E} \begin{bmatrix} (X - \mu_X)^2 (X - \mu_X)(Y - \mu_Y) \\ (X - \mu_X)(Y - \mu_Y) (Y - \mu_Y)^2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathrm{Var}(X) \mathrm{Cov}(X,Y) \\ \mathrm{Cov}(X,Y) \mathrm{Var}(Y) \end{bmatrix}VE[(X−μX​)2(X−μX​)(Y−μY​)​(X−μX​)(Y−μY​)(Y−μY​)2​][Var(X)Cov(X,Y)​Cov(X,Y)Var(Y)​]