复变函数：用留数法简化拉普拉斯逆变换拆解，从而高效解微分方程

目录一、留数法与待定系数法谁才是有理真分式的化简之王1常规待定系数法2留数法的底层原理布罗姆维奇围道积分3为什么要用留数法解拉普拉斯逆变换优势在哪二、使用留数法解拉普拉斯逆变换1一阶极点情况2二阶极点情况​三、σ0与极点的关系一、留数法与待定系数法谁才是有理真分式的化简之王前面我们已经用拉普拉斯变换的各种性质去化简了像函数F(S)从而简单的就能基于查表法看出结果但有时候像函数是一个有理真分式时又该如何去做呢1常规待定系数法先来看看常见的待定系数法2留数法的底层原理布罗姆维奇围道积分但为什么可以用lim极限的方式留数法去求解系数呢这和我们之前在复变函数中学过的留数定理、p阶极点又有什么联系呢我之前有一篇关于极点阶数、留数定理的文章没有学过的必须先看懂这篇文章才能往后学习留数法的原理。复变函数极点的阶数判断、留数、柯西积分公式与其关系_复变函数 极点留数-CSDN博客下面是布罗姆维奇围道积分的简单介绍有所了解即可不需要学会证明有了这个认知基础后我们以后就可以很放心的说想要对像函数进行拉普拉斯逆变换本质就是在求左圆弧构成的围道积分嘛于是可以使用留数定理方便简洁的得到结果再也不用担心待定系数法计算错误、不会计算复杂围道积分的问题啦3为什么要用留数法解拉普拉斯逆变换优势在哪我们明明有那么方便的待定系数法查表法为什么还需要费劲的引入布罗姆维奇围道积分和留数定理呢这是因为在自动控制领域很多像函数不都能很方便的待定系数。于是留数定理成为了工科快速计算个工具。比如这样的像函数待定系数法非常麻烦二、使用留数法解拉普拉斯逆变换这里要注意一点在使用留数法之前必须要保证像函数F(s)是有理真分式的情况即分子的次数分母的次数否则无法使用布罗姆维奇围道积分。以后遇到假分式时首先提几个常数1出来再做。一般在自动控制原理中的传递函数都是有理真分式能极大程度规避一些错误使用的场景但还是建议大家在做之前判断一下。1一阶极点情况这里是把e^st写到留数里面去求解是最为标准的写法。而有的人喜欢把e^st拿出来单独只求前面的系数再乘上去这种写法只能在一阶极点时候成立因为不涉及到求导操作所有结果相同但在高阶极点情况是万万不可这样做的。2二阶极点情况我们这里由于是求二阶极点所以按照留数的求法只求了一阶导而更高阶极点则需要多次求导计算量将变得很大好在自控中一般只有二阶极点让我们做。这一步可能与大多书写的不一样书上一般是让你把a-1和a-2拆开来做但我个人觉得没有什么数学依据不能直观的从留数定理的角度理解问题。所以我建议大家以后都像我这样写直接与留数定理接轨没有引入任何其他知识。关于更高阶的情况出现的比较少也就是纯粹的数学求导过程了与上述无异。三、σ0与极点的关系上面在用留数定理解决复积分问题的时候我产生了一个疑问你如何保证极点全都在你的围道积分内部呢万一有一个极点在收敛横标的右侧怎么办呢后来我发现只要能用拉普拉斯变换的必定经过收敛因子的改造而收敛横标已经是最大的极点右侧的某个点了